Marcel Nijman
Microtonale MuziekDit artikel probeert een antwoord te geven op de volgende vragen:
Het 12-toonsysteemWesterse muziek bestaat uit zeven fundamentele tonen (C, D, E, F, G, A en B) en vijf veranderde tonen (Db, Eb, Gb, Db en Bb). Samen zijn dit dus twaalf tonen. Een octaaf is een factor twee in frequentie, dus A=440Hz, A'=880Hz, A''=1760Hz, enz. Binnen een octaaf liggen de twaalf tonen zó dat steeds de verhouding van de frequentie van twee naast elkaar liggende tonen gelijk is. Die verhouding is de twaalfde-machts wortel van 2, nl. dát getal dat twaalf keer met zichzelf vermenigvuldigd 2 oplevert. Dat getal is overigens ongeveer 1.0595. Dus A=440Hz, Bb=440*1.0595Hz, B = 440*1.05952Hz, enz. De tonen uit het 12-toonsysteem staan in de volgende tabel:
De toonnummers staan in de tabel omdat die notatie handiger is wanneer we naar andere toonsystemen gaan kijken. Met de relatieve frequentie van een toon bedoel ik de frequentie t.o.v. de C, dus de verhouding tussen de frequentie van die toon en de frequentie van de C. De interessantste kolom is de laatste; de breuken die de relatieve frequenties benaderen. Geen van de intervallen (behalve de unison en het octaaf, die ik daarom vanaf nu weglaat) zijn perfect met een breuk te beschrijven. De genoemde breuken zijn dus benaderingen. Nu is elk getal natuurlijk met veel breuken te benaderen, De breuk die in de tabel staat is een compromis tussen een goede benadering van de relatieve frequentie en een niet al te grote noemer. Natuurlijk is de grote secunde nauwkeuriger te benaderen met de breuk 11225/10000, maar zo'n grote noemer is voor een redelijk goede benadering helemaal niet nodig. Als de intervallen worden gesorteerd op de som van hun teller en noemer wordt de tabel:
We zien dat de volgorde grofweg overeen komt met ons gevoel voor welluidendheid; eerst komt de kwint, dan de kwart, dan de tertsen en sexten, en als laatste de secundes en septiemen. Alleen de tritonus zit daar nog tussen. Het lijkt er dus op dat het volgende waar is:
Als dat waar is, dan zijn 7/4, 7/5 en 7/6 ook mooi. Maar die zitten niet in het 12-toonsysteem. De 7/6 zit ergens tussen de grote secunde en de kleine terts. De 7/5 zit net iets onder de tritonus, en de 7/4 zit tussen de grote sext en de kleine septiem. De vraag die nu opkomt, en die de oorsprong van dit artikel vormde, is: is het mogelijk om een octaaf in een ander aantal tonen te verdelen zodat er meer mooie breuken in voor komen. De welluidendheid van breuken is weergegeven in de volgende grafiek. Horizontaal staat de relatieve frequentie over een vol octaaf. Verticaal staat de muzikale spanning (lager is minder spanning, en dus welluidender).
De breuken onder de grafiek geven de plaats aan van de breuken uit de eerdere tabel. De tonen zelf (niet te zien in de grafiek) liggen op gelijke afstand van elkaar. Te zien is dat de tritonus heel slecht valt, en dat de kleine terts eigenlijk iets lager ligt dan 6/5 terwijl de grote sext eigenlijk iets hoger ligt dan 5/3. ToonladdersIn het 12-toonsysteem zijn verschillende toonladders te maken, afhankelijk van het aantal gewenste tonen. In de volgende tabel staat voor elk aantal tonen de mooiste toonladder, namelijk de toonladder met de mooiste intervallen. Met de mooiheid van een toonladder bedoel ik de welluidendheid volgens boverstaande grafiek, gemiddeld over alle intervallen die met die toonladder te maken zijn. Eerst een klein voorbeeldje: de mooiste toonladder van twee tonen is C G, want die heeft twee intervallen (kwint en kwart, met als breuken 3/2 en 4/3) en dus een gemiddelde spanning van 17/12 (het gemiddelde van 3/2 en 4/3). Alle andere toonladder van twee tonen hebben een grotere spanning. Bijvoorbeeld C E heeft de grote terst (5/4) en de kleine sext (8/5) met dus een gemiddelde spanning van 57/40 en dat is nèt iets meer dan 17/12. Nu de tabel:
De toonladders zijn gegeven als rijtje toonnamen (laatste kolom) en als rijtje intervallen (halve toonsafstanden, de kolom ervoor). Wat direct opvalt is dat de mooiste toonladder van 7 tonen 'onze' toonladder is! Alle roteringen zijn natuurlijk gelijkwaardige oplossingen; zo ontstaan de modes. Dus [C E G] = [E G C'] = [C Eb Ab]. Alle drie die toonladders bestaan uit de intervallen grote secunde, kwart en kwint. Omdat ik van de C als eerste toon ben uitgegaan zijn alle verhogingen en verlagingen natuurlijk ook gelijkwaardige oplossingen: [C E G] = [Db F Ab]. De Chinese harp heeft de mooiste toonladder van 5 tonen, maar dan beginnend op de vierde toon, en twee halve tonen lager, dus [A B D E F#]. Andere ToonsystemenVoor andere toonsystemen is al het bovenstaande ook uit te rekenen. Ik gebruik nu toonnummers om de tonen aan te duiden. De interval-namen gebruik ik vanf nu m.b.t. de breuken, dus de kwint is de 3/2 breuk, en niet de vijfde toon. In het 13-toonsysteem wordt de tabel van breuken de volgende:
Dit toonsysteem is niet om aan te horen. Het bevat niet eens de breuken 3/2 (de kwint), 4/3 (de kwart) en 5/3 (de grote sext), en bevat maar twee breuken met teller + noemer kleiner dan 19, terwijl het 12-toonsysteem daar zeven van heeft. Vergelijk bovenstaande tabel eens met de breuken uit het 19-toonsysteem, waarvan er tien een teller + noemer kleiner dan 19 hebben.
Merk overigens op dat breuken die gelijk zijn aan breuken uit eerdere tabellen niet hetzelfde klinken. De relatieve frequentie behorend bij de breuk 5/4 is in het 13-toonsysteem 1.2377... maar in het 12-toonsysteem 1.2599... . De volgende tabel laat voor het 2-toonsysteem tot en met het 32-toonsysteem alle breuken met een noemer kleiner dan 10 zien.
Het 31-toonsysteem is hiervan het mooist; het bevat maar liefst de eerste 16 breuken. Ook 27, 19, 15 en 12 zien er goed uit. Regelrechte rampen zijn 9, 13 en 23. Links
De Stichting Huygens-Fokker
bevordert de verspreiding van mictononale muziek in al haar
verschijningsvormen. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
